このカードがコストを支払わずに登場するときに、このカードの1つ目の効果で自分の手札から指定のカードを破棄することはできますか？
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はい、破棄することができます。破棄した場合でも、コストを支払わずに登場させます。
参照元：EX9-030 アンドロモン
総合ルール 4.1 該当箇所
- 15-7-5 任意処理条件は、その条件より後の内容が実行可能かどうかに関わらず、その条件の内容を実行するか選択することができます。(例：「【アタック時】自分のセキュリティを上から1枚破棄することで、このターンの間、相手のデジモン1体のDPを-5000する。」は、バトルエリアに相手のデジモンがいなくても、セキュリティを上から 1枚破棄することができます)
- 15-7-4 任意処理条件は、条件の内容を実行可能かどうかに関わらず、条件の内容を実行するか選択できます。(例：「【アタック時】自分のセキュリティを上から1枚破棄することで、このターンの間、相手のデジモン 1 体の DP を- 5000する。」は、自分のセキュリティが1枚もない状況でも、条件の内容を実行することを選択できますが、実行できないのであれば、その条件より後の処理は全て実行できません)